KAlgebra/Lektier

Denne side viser, hvordan KAlgebra kan bruges til at løse opgaver fra den virkelige verden.

Eksempel med kombinatorik

Vi har 6 personer, som vil vide, på hvor mange måder de kan fordele sig omkring et bord med 6 stole.

Vi ved, at 6 personer kan fordele sig omkring bordet med disse konfigurationer

p1	p2	p3	p4	p5	p6
p1	p2	p3	p4	p6	p5
p1	p2	p3	p5	p4	p6
p1	p2	p3	p5	p6	p4

og så videre.

Vi bemærker, at den første person kan placere sig på 6 forskellige pladser; den anden person har så 5 muligheder for at placere sig, og herefter er der 4 pladser til den tredje person, så 3 pladser til fjerde, 2 pladser til den femte og endelig 1 plads til den sjette. Vi kan således skrive følgende simple beregning:

6*5*4*3*2*1

Det skriver vi i KAlgebras konsol, og får svaret:

(((((1)*2)*3)*4)*5)*6
=720

Den slags arrangementer af ting i rækkefølger, hvor antallet af pladser er lig med antallet af ting kaldes en permutation.

Lad os prøve at bruge KAlgebras permutationsfunktion:

factorial(6)

så får vi

factorial(6)
=720

Som du kan se, giver det samme resultat som før.

Eksempel med sandsynligheder

Lad os kaste med en terning. Vi vil finde sandsynligheden for et bestemt udfald.

Vi taler om positivt udfald, når kastet falder ud til vores fordel og negativt udfald, når det ikke er fordelagtigt for os.

Her skal du altså vælge en bestemt side:

Sandsynlighed = antal sider valgt/samlet antal sider = 1/6

Nu ved vi, at når terningen kastes, så er der 1/6 chance for, at terningen lander med vores side opad.

Vi kan definere en simpel funktion i KAlgebra til at beregne dette:

sandsynlighed:=(favorabel,total)->favorabel/total

Talteori

Lad os sige, at vi ønsker at kende summen af alle tal i et begrænset interval, for eksempel fra 1 til 100. Vi skal så lægge alle disse hundrede tal sammen, hvis vi ikke kender en formel, der kan bruges.

KAlgebra har en smart funktion til denne opgave. Vi skriver i konsollen:

sum(x: x=1..100)

og får resultatet:

sum(x: x=1..100)
= 5050

Der sker følgende:

1. Brug x som variabel

2. Tag den første værdi af x

3. Tag den anden værdi af x og læg det til den første værdi

4. Tag den tredje værdi af x og læg den til den forrige sum

...

N. Tag den sidste værdi af x og læg den til den forrige sum

Elektronik

Eksempel 1

Lad os tage en simpel AND-kreds med to input og et output. For at simulere det i KAlgebra skriver vi

and(variabel1, variabel2)

hvilket vil beregne det output, som kredsen giver med de to input.

Eksempel 2

Vi har et simpelt kredsløb bestående af et 3V-batteri og to elektriske modstande (R1 og R2) på hver 3 kOhm forbundet parallelt. Vi vil beregne strømmen i kredsløbet.

Først skal vi beregne værdien af den elektriske modstand ved hjælp af følgende formel:

SamletModstand = (1/R1 + 1/R2)^-1

Strøm = Spænding/SamletModstand

LAd os skrive a enkel funktion i KAlgebra til at gøre dette:

samletmodstand:=(R1,R2)->(1/R1+1/R2)^-1
strøm:=(spænding,samletmodstand)->spænding/samletmodstand

Lad os se, hvad vi får:

strøm(3, samletmodstand(3000, 3000))

strøm(3, samletmodstand(3 000, 3 000))
= 0,002

Væsker

Eksempel med samme væsker men forskellige rumfang og temperaturer

Hvad nu, hvis vi vil vide, hvad sluttemperaturen bliver, når vi blander 40 L 15°C varmt vand med 30 L 70°C varmt vand? Ved at bruge energibevarelse ved vi, at den samlede termiske energi er den samme før og efter blandingen, så slutenergien er lig med summen af energierne i de to væsker (vi bruger U for intern energi):

U_final = U1 + U2

Intern energi er lig med den volumetriske varmecapacitet ganget med temperaturen:

U = C*V*T

Så C_slut*V_slut*T_slut = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

Da varmekapaciteterne alle er ens, så går de ud, og slutvolumenet er lig summen af de to oprindelige volumener:

(V1+V2)*T_slut = V1*T1 + V2*T2

eller

T_slut = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)

Vi kan enten udregne dette direkte i KAlgebra:

(40*15 + 30*70)/(40 + 30)

(40*15+30*70)/(40+30)
=38.5714

for at finde sluttemperaturen eller vi kan definere en funktion, hvis vi skal gentage beregningen:

slutTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)

Den kan vi så bruge således:

finalTemp(40,15,30,70)

finalTemp(40, 15, 30, 70)
=38.5714

Eksempel med forskellige væsker

Antag nu, at de to væsker har forskellige volumetriske varmekapaciteter; for eksempel 4180 J/(L*K) for den første (vand) og 1925 J/(L*K) for den anden (sprit). Vi skal igen bruge formlen:

C_slut*V_slut*T_slut = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

Varmekapaciteten af blandingen vil være gennemsnittet af de to oprindelige varmekapaciteter vægtet efter volumen (eftersom det er volumetriske varmekapaciteter):

C_slut = (C1*V1 + C2*V2)/V_slut

Indsætter vi i de foregående ligninger får vi:

(C1*V1 + C2*V2)*T_slut = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

eller

T_slut = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)

Vi kan enten bruge denne formel direkte:

(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)

((4,180*40)*15+(1,925*30)*70)/(4,180*40+1,925*30)
=29.1198

Eller skrive en funktion, hvis vi skal gentage beregningen:

slutTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)

Den kan vi så bruge således:

slutTemp2(4180,40,15,1925,30,70)

slutTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
=29.1198

Skærmbillede af KAlgebra efter at have lavet disse beregninger: