KAlgebra/Ймовірності

На цій сторінці наведено декілька прикладів використання KAlgebra для розв’язування задач теорії ймовірностей.

Вступ

Нехай ми ведемо гру 5 гральними кістками.

Теорія, яка лежить в основі гри

Спочатку проаналізуємо ситуацію з киданням однієї кістки:

Ймовірність отримати під час викидання будь-яке з чисел на кістці дорівнює 1/6 або 16,667%, оскільки ми маємо рівно 6 можливих результатів викидання і кожен з них є рівноймовірним з іншими.

Нижче наведено таблицю, де праворуч від числа на кістці записано ймовірність його випадання.

    1    16,667%
    2    16,667%
    3    16,667% 
    4    16,667% 
    5    16,667% 
    6    16,667% 

Якщо ми кидатимемо 2 кістки, розподіл ймовірностей, звичайно ж, зміниться:

    2    2,778%
    3    5,556%
    4    8,333%
    5    11,111%
    6    13,889%
    7    16,667%
    8    13,889%
    9    11,111%
    10   8,333%
    11   5,556%
    12   2,778%

Чому ж, на відміну від випадку з однією кісткою, маємо різні значення ймовірностей для кожного з чисел? Відповідь дуже проста. Розглянемо результат «4» і всі комбінації з двох натуральних чисел, які у сумі дають 4:

   1+3 = 4
   3+1 = 4
   2+2 = 4

Таким чином, нам слід додати ймовірності кожної з цих комбінацій, щоб отримати загальну ймовірність випадання суми 4. Ось результат:

  P(1,3) + P(3,1) + P(2,2) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 = 0,08333 = 8,333%

Отже, якщо у нас буде 5 кісток, нам доведеться додавати ймовірності для всіх варіантів чисел на 5 кістках, які у сумі дають потрібне нам число. Спосіб отримання ймовірностей сум для більшої кількості кісток є аналогічним.

Задача зі знаходження ймовірності

Розгляньмо задачу зі знаходження ймовірності випадання з п’яти кісток трьох з шістками.

Знайти цю ймовірність можна таким чином: ймовірність випадання шістки на одній кістці * ймовірність випадання шістки на ще одній кістці * ймовірність випадання шістки на ще одній кістці * ймовірність випадання не шістки на одній кістці * ймовірність випадання не шістки на ще одній кістці

Потрібна нам комбінація може бути такою: 6 6 6 2 3, або такою: 5 6 6 6 1. Отже нам слід врахувати те, що нас задовольнятиме будь-який порядок випадання кісток, аби лише серед них було рівно три шістки. Тому слід ввести до розрахунків біноміальні коефіцієнти. Обчислити біноміальний коефіцієнт з N по M у KAlgebra можна таким чином:

factorial(N) / (factorial(M) * factorial(N-M))

Це комбінаторне число, яке визначається такою формулою:

comb:=(N,M)->factorial(N) / (factorial(M) * factorial(N-M))

Отже, біноміальний коефіцієнт для 3 чисел у 5 позиціях буде таким:

comb(5,3)

=	10

Отже наша функція набуде такого остаточного вигляду:

(comb(5, 3)*(1/6)*(1/6)*(1/6)*(5/6)*(5/6))

=	0.0321502

Тепер ми можемо визначити просту функцію для отримання результату:

binomial:=(b, p, k)->(comb(b, k)*p^k)*(1-p)^(b-k)

Отже тепер маємо:

binomial(5, 1/6,3)

=	0.0321502

Це ймовірність отримати з п’яти елементарних подій (випадання певного числа на кістці) 3 сприятливих, якщо ймовірність сприятливого результату у елементарній події дорівнює 1/6, а ймовірність несприятливого — 5/6.

Ви можете зауважити, що сума ймовірностей дорівнює 1:

sum(binomial(5,1/6,t):t=0..5)

=	1

У розподілі ймовірностей за значеннями величини ймовірностей спочатку зростають до максимального значення, а потім спадають. Форма розподілу нагадує форму дзвону. Такий розподіл ймовірностей називається біноміальним розподілом.

Отже, тепер зрозуміло, що розподіл між можливими сумами на кістках не є рівномірним, тому вибір комбінацій з більшою ймовірністю випадання може вести до виграшу у грі з вгадування суми.

Єдиним варіантом, коли всі результати є рівноймовірними, є варіант з однією кісткою, оскільки ймовірність випадання будь-якого числа у цьому випадку дорівнює 1/6. Ще одним прикладом такого рівномірного розподілу ймовірностей є підкидання монетки, коли ймовірність випадання будь-якої з її сторін дорівнює 1/2.

Простим способом досягнення виграшу є збільшення ймовірності випадання потрібної грані. Наприклад, казино може додати невеличку вагу навпроти грані з шісткою, щоб ймовірності змінилися, скажімо так:

0.15 	 1
0.15	 2
0.15	 3
0.15	 4
0.15	 5
0.25	 6

Тепер, якщо ми викинемо 5 кісток, а нам потрібно буде три шістки, загальна ймовірність зміниться так:

binomial(5,0.25,3)

=	0.087890625

Знімок вікна KAlgebra під час виконання обчислень ймовірностей

Реалістичний приклад

Нехай маємо казино, яке грає проти гравця. Припустімо, що маємо також 5 кісток і початкову ставку у 1$. Тепер створимо правила гри таким чином:

немає шісток або одна шістка: гравець програє 1$

дві або 3 шістки: гравець виграє 1$

чотири шістки: гравець виграє 175$

п’ять шісток: гравець виграє 375$

Кількість шісток	Виграш або програш
0	-1$
1	-1$
2	1$
3	1$
4	175$
5	375$

Виконаємо розрахунок ймовірностей:

Виграш гравця:

Гравець виграє лише якщо випаде від двох до п’яти шісток. Отже, якщо рахувати ймовірність виграшу за допомогою KAlgebra, матимемо:

binomial(5,1/6,2)+binomial(5,1/6,3)+binomial(5,1/6,4)+binomial(5,1/6,5)

=	0.196244855967

Виграш казино:

Казино виграє, якщо шістка не випаде або випаде один раз. Якщо рахувати виграш казино за допомогою KAlgebra, матимемо:

binomial(5,1/6,0)+binomial(5,1/6,1)

=	0.803755144033

Тепер визначимо, чи є шанси на виграш збалансованими. Створимо функцію win(x), яка обчислюватиме відповідність між сумами ставок і ймовірностями виграшу:

win:=x->piecewise { x=0 ? -1, x=1 ? -1, x=2 ? 1, x=3 ? 1, x=4 ? 175, x=5 ? 375, ? 0 }

Давайте перевіримо наші обчислення за допомогою KAlgebra:

sum(win(x)*binomial(5,1/6,x): x=0..5)

=	-2.01227923213e-16

Результатом мав бути 0, але через похибки у внутрішньому представленні чисел у ком’ютері ми отримали лише близьке до нуля число.

Як бачимо, у цьому випадку маємо гру з нульовою сумою: ні гравець, ні казино нічого не виграють, якщо гра продовжуватиметься нескінченно довго.