KAlgebra/Homework/uk: Difference between revisions

Latest revision as of 16:27, 29 April 2011

На цій сторінці наведено приклади застосування KAlgebra для розв’язання конкретних задач.

Приклад з комбінаторики

Нехай слід визначити кількість способів, якими можна розсадити 6 осіб (p1, p2 ... p6) навколо круглого столу з 6 стільцями.

Очевидно, можливі такі варіанти:

p1	p2	p3	p4	p5	p6
p1	p2	p3	p4	p6	p5
p1	p2	p3	p5	p4	p6
p1	p2	p3	p5	p6	p4

і так далі.

Можна зауважити, що останню позицію за столом можна заповнити лише у один спосіб, передостанню — у 2, далі — у 3, у 4, у 5, і нарешті у 6 способів. Отже загальну кількість варіантів можна визначити за допомогою простої формули:

6*5*4*3*2*1

Введемо цю формулу у консоль KAlgebra, і програма обчислить відповідь:

(((((1)*2)*3)*4)*5)*6
=720

Подібний розподіл значень за варіантами, де кількість значень дорівнює кількості варіантів називається «переставляннями».

Ви можете скористатися функцією KAlgebra для обчислення кількості таких переставлянь (ця функція називається «факторіал»):

factorial(6)

дасть нам

factorial(6)
=720

Як бачите, ми отримали той самий результат.

Приклад з теорії ймовірностей

Визначимо ймовірність викинути певну грань гральної кістки.

Сприятливим для нас буде викидання відповідної грані, а несприятливим - викидання інших граней.

Отже, сприятливим буде лише один варіант із шести:

ймовірність = кількість вибраних граней / загальна кількість граней = 1/6

Отже тепер ми знаємо, що ймовірність викидання певної грані кістки дорівнює 1/6.

Ви можете створити просту функцію у KAlgebra для отримання значення ймовірності за означенням:

jmovirnist:=(spryyatlyvi,zagalom)->spryyatlyvi/zagalom

Теорія чисел

Нехай нам потрібно визначити суму всіх цілих чисел у певному діапазоні, наприклад, від 1 до 100. Знаходження подібної суми без певної вправності у арифметиці (якщо ви знаєте потрібний прийом, це нескладно) справа доволі марудна.

У KAlgebra передбачено чудові можливості для виконання подібних обчислень. Віддайте у консолі такі команди:

sum(x: x=1..100)

в результаті отримаємо:

sum(x: x=1..100)
= 5050

Вказана нами синтаксична конструкція призначена для виконання такої послідовності дій:

1. Обмежити діапазон значень x

2. Взяти перше значення x

3. Взяти друге значення x і додати попереднє значення x

4. Взяти третє значення x і додати попереднє значення x

...

N. Взяти останнє значення x і додати останнє значення x

Розрахунок електричних ланцюгів

Приклад 1

Розглянемо простий елемент множення з двома вхідними портами та одним вихідним. Для визначення результату у KAlgebra можна скористатися таким кодом:

and(var1, var2)

Ми отримаємо результат логічного множення вхідних змінних.

Приклад 2

Розглянемо простий електричний ланцюг: джерело живлення з напругою 3 В та два елементи опору (R1 і R2) з’єднані паралельно з опором 3 кОм. Потрібно визначити струм, який проходитиме ланцюгом.

Для початку визначимо значення загального опору відповідно до такого закону:

R_заг = (1/R1 + 1/R2)^-1

I = U/R_заг

Давайте створимо просту функцію у KAlgebra для виконання обчислень за вказаними формулами:

R_zag:=(R1,R2)->(1/R1+1/R2)^-1
I:=(U,R_zag)->U/R_zag

Подивимося, що у нас вийшло:

I(3, R_zag(3000, 3000))

I(3, R_zag(3 000, 3 000))
= 0,002

Теплопровідність

Приклад з однаковими матеріалами, але різними об’ємами та температурами

Давайте знайдеом температуру суміші 40 літрів води з температурою 15°C та 30 літрів води з температурою 70°C? Скористаємося законом збереження енергії. Ми знаємо, енергія суміші є сумою енергій складових, отже (літерою Q ми позначили внутрішню енергію):

U_сум = U1 + U2

Внутрішня енергія є добутком теплоємності при сталому об’ємі на об’єм і на температуру:

U = C*V*T

Отже C_ост*V_ост*T_ост = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

Оскільки теплоємності є однаковими, на них можна скоротити. Остаточний об’єм дорівнюватиме сумі двох початкових об’ємів:

(V1+V2)*T_ост = V1*T1 + V2*T2

або

T_ост = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)

Тепер ми можемо або безпосередньо ввести значення у KAlgebra:

(40*15 + 30*70)/(40 + 30)

(40*15+30*70)/(40+30)
=38.5714

і отримати остаточну температуру, або створити функцію, якщо обчислення треба буде повторити:

Temp_ost:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)

Створеною функцією можна скористатися ось так:

Temp_ost(40,15,30,70)

Temp_ost(40, 15, 30, 70)
=38.5714

Приклад з двома різними рідинами

Нехай тепер маємо дві рідини з різними теплоємностями, зокрема 4180 Дж/(л*К) для першої рідини (вода) та 1925 Дж/(л*К) для другої (етиловий спирт). Повернімося до рівняння:

C_ост*V_ост*T_ост = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

Остаточна темлоємність буде середньою зваженою величиною відносно теплоємностей першої і другої рідин за об’ємом (оскільки це теплоємність при сталому об’ємі, а не при сталій масі чи молярності):

C_ост = (C1*V1 + C2*V2)/V_ост

Підставляючи це співвідношення до попереднього рівняння, ми отримаємо:

(C1*V1 + C2*V2)*T_ост = C1*V1*T1 + C2*V2*T2

або

T_ост = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)

Ми можемо або скористатися цією формулою безпосередньо:

(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)

((4,180*40)*15+(1,925*30)*70)/(4,180*40+1,925*30)
=29.1198

Або створити функцію, якщо можливі подальші обчислення за цією формулою:

Temp_ost2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)

Цією функцією можна скористатися так:

Temp_ost2(4180,40,15,1925,30,70)

finalTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
=29.1198

Знімок вікна KAlgebra після виконання обчислень:

@@ Line 109: / Line 109: @@
 ===Приклад з однаковими матеріалами, але різними об’ємами та температурами===
-<span class="mw-translate-fuzzy">
 Давайте знайдеом температуру суміші 40 літрів води з температурою 15°C та 30 літрів води з температурою 70°C?
 Скористаємося законом збереження енергії. Ми знаємо, енергія суміші є сумою енергій складових, отже (літерою Q ми позначили внутрішню енергію):<br />
 :U<sub>сум</sub> = U1 + U2
-</span>
-Internal energy is equal to the volumetric heat capacity times volume times temperature:<br />
+Внутрішня енергія є добутком теплоємності при сталому об’ємі на об’єм і на температуру:<br />
 :U = C*V*T
-So C<sub>final</sub>*V<sub>final</sub>*T<sub>final</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
+Отже C<sub>ост</sub>*V<sub>ост</sub>*T<sub>ост</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
-And since the heat capacities are all the same and cancel out, and the final volume is the sum of the two initial volumes:<br>
+Оскільки теплоємності є однаковими, на них можна скоротити. Остаточний об’єм дорівнюватиме сумі двох початкових об’ємів:<br />
-:(V1+V2)*T<sub>final</sub> = V1*T1 + V2*T2
+:(V1+V2)*T<sub>ост</sub> = V1*T1 + V2*T2
-::or
+::або
-:T<sub>final</sub> = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)
+:T<sub>ост</sub> = (V1*T1 + V2*T2)/(V1+V2)
-We can then either use this directly in KAlgebra:
+Тепер ми можемо або безпосередньо ввести значення у '''KAlgebra''':
 {{Input |<nowiki>(40*15 + 30*70)/(40 + 30)
 </nowiki>}}
 {{Output |<nowiki>(40*15+30*70)/(40+30)
 =38.5714</nowiki>}}
-and get the final temperature, or put in a function if we need to repeat the computation:
+і отримати остаточну температуру, або створити функцію, якщо обчислення треба буде повторити:
-{{Input |<nowiki>finalTemp:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)</nowiki>}}
+{{Input |<nowiki>Temp_ost:=(v1,t1,v2,t2)->(v1*t1 + v2*t2)/(v1+v2)</nowiki>}}
-Which we can then use like this:
+Створеною функцією можна скористатися ось так:
-{{Input |<nowiki>finalTemp(40,15,30,70)
+{{Input |<nowiki>Temp_ost(40,15,30,70)
 </nowiki>}}
-{{Output |<nowiki>finalTemp(40, 15, 30, 70)
+{{Output |<nowiki>Temp_ost(40, 15, 30, 70)
 =38.5714</nowiki>}}
-===Example Problem with Different Fluids===
+===Приклад з двома різними рідинами===
-Now, suppose the two fluids have different volumetric heat capacities, such as 4180 J/(L*K) for the first liquid (water), and 1925 J/(L*K) for the second liquid (ethanol).
+Нехай тепер маємо дві рідини з різними теплоємностями, зокрема 4180 Дж/(л*К) для першої рідини (вода) та 1925 Дж/(л*К) для другої (етиловий спирт).
-We will need to refer back to the equation:<br />
+Повернімося до рівняння:<br />
-:C<sub>final</sub>*V<sub>final</sub>*T<sub>final</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
+:C<sub>ост</sub>*V<sub>ост</sub>*T<sub>ост</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
-The resultant heat capacity will be the average of the capacities of the first and second fluids, weighted by volume(since it is a volumetric heat capacity rather than mass- or molar-specific):<br />
+Остаточна темлоємність буде середньою зваженою величиною відносно теплоємностей першої і другої рідин за об’ємом (оскільки це теплоємність при сталому об’ємі, а не при сталій масі чи молярності):<br />
-:C<sub>final</sub> = (C1*V1 + C2*V2)/V<sub>final</sub>
+:C<sub>ост</sub> = (C1*V1 + C2*V2)/V<sub>ост</sub>
-And plugging this into the previous equation, we get:<br />
+Підставляючи це співвідношення до попереднього рівняння, ми отримаємо:<br />
-:(C1*V1 + C2*V2)*T<sub>final</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
+:(C1*V1 + C2*V2)*T<sub>ост</sub> = C1*V1*T1 + C2*V2*T2
-::or
+::або
-:T<sub>final</sub> = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)
+:T<sub>ост</sub> = (C1*V1*T1 + C2*V2*T2)/(C1*V1 + C2*V2)
-And either use this formula directly:
+Ми можемо або скористатися цією формулою безпосередньо:
 {{Input |<nowiki>(4180*40*15 + 1925*30*70)/(4180*40+1925*30)
 </nowiki>}}
@@ Line 159: / Line 157: @@
 =29.1198</nowiki>}}
-Or write a function if we want to repeat the calculation:
+Або створити функцію, якщо можливі подальші обчислення за цією формулою:
-{{Input |<nowiki>finalTemp2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)
+{{Input |<nowiki>Temp_ost2:=(c1,v1,t1,c2,v2,t2)->(c1*v1*t1 + c2*v2*t2)/(c1*v1+c2*v2)
 </nowiki>}}
-Which we can then use like this:
+Цією функцією можна скористатися так:
-{{Input |<nowiki>finalTemp2(4180,40,15,1925,30,70)
+{{Input |<nowiki>Temp_ost2(4180,40,15,1925,30,70)
 </nowiki>}}
 {{Output |<nowiki>finalTemp2(4,180, 40, 15, 1,925, 30, 70)
 =29.1198</nowiki>}}
-Screenshot of '''KAlgebra''' after running these computations:
+Знімок вікна '''KAlgebra''' після виконання обчислень:
 [[Image:KAlgebra-Fluids-Example-Screenshot.png|400px|center]]
 [[Category:Освіта/uk]]